Simple Pyramid

গতকাল Progক্রিয়া কনটেস্টে Simple Pyramid নামে একটি প্রবলেম ছিল। জিওম্যাট্রিতে এমনিতেই দুর্বল, প্রবলেম দেখার পরেই বুঝতে পেরেছি, এটা আমাকে দিয়ে হবে না। অতঃপর ঘাটাঘাটি করে যা শিখলাম।
.
প্রবলেমটিতে চেয়েছিল,
 ১- পিরামিডের আয়তন(volume)
 ২- ঢালগুলোর ক্ষেত্রফল(slanted surface area)
শুধু slopping area, base area দরকার নেই।
.
১ম ধাপ,
পিরামিডের আয়তন(volume) নির্ণয়ের সূত্র,
  = 1/3 × [Base Area] × Height
এখানে উচ্চতা দেওয়া আছে, আমাদের শুধু ভূমির ক্ষেত্রফল(base area) বের করতে হবে। Sholelace formula ব্যবহার করে খুব সহজেই পলিগনের ক্ষেত্রফল বের করা যায়, তবে শর্ত হচ্ছে কো-অর্ডিনেটগুলো ক্লকওয়াইজ অথবা কাউন্টার ক্লকওয়াইজে সাজানো থাকতে হবে। ১ম ছবিটি দেখলে সহজেই বুঝতে পারবে।
.

Shoelace formula জানা না থাকলে, একটু দেখে আসো, অনেক কিছু জানতে পারবে, https://youtu.be/0KjG8Pg6LGk
.
২য় ধাপ,
ঢালগুলোর ক্ষেত্রফল(slopping surface area) মানে সম্পূর্ণ পিরামিডে slopping area কতটুকু আছে, ২য় ছবিটিতে দেখলে খুব সহজেই বুঝা যায়, যতগুলো ত্রিভুজ আছে, ঠিক তাদের সম্মিলিত ক্ষেত্রফল ই slopping area. ছবিটিতে লক্ষ্য করে দেখতে পাবে, এখানে ৪টি ত্রিভুজ আছে। যতগুলো কো-অর্ডিনেট দেওয়া থাকবে, ঠিক ততগুলো ত্রিভুজ হবে। এখন তাদের ক্ষেত্রফল কিভাবে বের করবে?
.
কো-অর্ডিনেট তো দেওয়াই আছে সব, তারপর ক্ষেত্রফল বের করা তো দুধভাত। এখানে বলে দেওয়া আছে পিরামিডের চূড়া(apex) হবে (0,0,H), আর যেহেতু কো-অর্ডিনেটগুলো ভূমির ক্ষেত্রে দেওয়া আছে, সেক্ষেত্রে সবগুলোর Z-coordinate শূণ্য হবে।  ত্রিভুজের ৩টা পয়েন্ট পেয়ে গেলে, আমরা distance এর সূত্র দিয়ে ৩ বাহুর দৈর্ঘ্য বের করতে পারি। তারপর বাহু ৩ টির দৈর্ঘ্য দিয়ে ক্ষেত্রফল ও বের করে ফেলতে পারি,
দূরত্ব নির্ণয়ের সূত্র আর ক্ষেত্রফলের সূত্রটা যদি না জান, নিজে নিজে একটু ঘাটাঘাটি কর।
 dist = sqrt((x1-x2)^2 + (y2-y1)^2 + (z2-z1)^2)
ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র,
s = (a+b+c)/2;
area = sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c))